Question

已知函数f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e（其中a、b、c、d、x∈R）为偶函数，它的图象过点A（0，-1），且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若对任意x∈R，不等式f（x）≤t（x²+1）总成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）先根据f（x）为偶函数，求出b和d的值，再根据函数的图象经过点（0，-1）求出e，然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，建立一等量关系，再根据切点在曲线上建立一等式关系，解方程组即可求得结果；
（2）根据对任意x∈R，不等式f（x）≤t（x2+1）总成立，分离参数可得恒成立，进而转化为求函数的最大值即可，利用换元法和基本不等式即可求得结果．
【解析】
（1）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）恒成立．
即a（-x）4+b（-x）3+c（-x）2+d（-x）+e=ax4+bx3+cx2+dx+e恒成立，
∴b=0，d=0，即f（x）=ax4+cx2+e．
又由图象过点A（0，-1），可知f（0）=-1，即e=-1．
又f′（x）=4ax3+2cx，由题意知函数y=f（x）在点（1，0）的切线斜率为-2，
故f′（1）=-2且f（1）=0．
∴4a+2c=-2且a+c-1=0．可得a=-2，c=3．
∴f（x）=-2x4+3x2-1．
（2）由f（x）≤t（x2+1）恒成立，且x2+1恒大于0，
可得恒成立．
令，设x2+1=m，则m≥1，
∴=（当且仅当时，“=”号成立）．
∴g（x）的最大值为，
故实数t的取值范围是．