Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是AB，BC的中点．
（1）求证：平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
（2）若在棱DD₁上有一点P，使BD₁∥平面PMN，求线段DP与PD₁的比．

Answer

（1）连接AC，由正方形性质得AC⊥BD，又由正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AB，BC的中点，易得MN∥AC，则MN⊥BD．BB1⊥MN，由线面垂直的判定定理，可得MN⊥平面BB1D1D，进而由面面垂直的判定定理，可得平面B1MN⊥平面BB1D1D；
（2）设MN与BD的交点是Q，连接PQ，PM，PN，由线面平行的性质定理，我们易由BD1∥平面PMN，BD1⊂平面BB1D1D，平面BB1D1D∩平面PMN=PQ，得BD1∥PQ，再由平行线分线段成比例定理，得到线段DP与PD1的比．
【解析】
（1）证明：连接AC，则AC⊥BD，
又M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN∥AC，∴MN⊥BD．
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴BB1⊥平面ABCD，
∵MN⊂平面ABCD，
∴BB1⊥MN，
∵BD∩BB1=B，
∴MN⊥平面BB1D1D，
∵MN⊂平面B1MN，
∴平面B1MN⊥平面BB1D1D．
（2）设MN与BD的交点是Q，连接PQ，PM，PN
∵BD1∥平面PMN，BD1⊂平面BB1D1D，平面BB1D1D∩平面PMN=PQ，
∴BD1∥PQ，
∴DP：PD1=DQ：QB=3：1．