Question

已知圆O：x²+y²=8交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，直线l：x=-4为准线的椭圆．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若M是直线l上的任意一点，以OM为直径的圆K与圆O相交于P，Q两点，求证：直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；
（Ⅲ）如图所示，若直线PQ与椭圆C交于G，H两点，且，试求此时弦PQ的长．

Answer

（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，则，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设M（-4，m），则圆K方程为，与圆O：x2+y2=8联立消去x2，y2，能够证明直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；
（Ⅲ）设G（x1，y1），H（x2，y2），则，由，知（x1+2，y1）=3（-2-x2，-y2），由此入手能够求出弦PQ的长．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，则：
，从而：，故b=2，所以椭圆的标准方程为．（3分）
（Ⅱ）设M（-4，m），则圆K方程为与圆O：x2+y2=8联立消去x2，y2得PQ的方程为4x-my+8=0，过定点E（-2，0）．（7分）
（Ⅲ）设G（x1，y1），H（x2，y2），则，①
∵，∴（x1+2，y1）=3（-2-x2，-y2），即：，
代入①解得：（舍去正值），∴kPQ=1，所以PQ：x-y+2=0，
从而圆心O（0，0）到直线PQ的距离d=，
∴．