Question

在等比数列{a_n}中，a₂+a₅=18，a₃．a₄=32，并且a_n+1＜a_n（n∈N^*）
（1）求a₂、a₅以及数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=lga₁+lga₂+lga₃+…+lga_n，求当T_n最大时n的值．

Answer

（1）由a3•a4=a2•a5及a2+a5=18可解得a2，a5，从而可得关于a1，q的方程组，根据等比数列通项公式可得an；
（2）表示出lgan，易判断{lgan}是等差数列，利用等差数列的求和公式可求得Tn，根据二次函数性质可求得Tn最大时n的值；
【解析】
（1）∵a3•a4=a2•a5，∴由已知条件可得：，并且a5＜a2，
解之得：a2=16，a5=2，
从而其首项a1和公比q满足：，解得，
故数列{an}的通项公式为：（n∈N*）；
（2）∵lgan=lg26-n=（6-n）lg2（n∈N*），
∴数列{lgan}是等差数列，
∴Tn=lga1+lga2+lga3+…+lgan
=5lg2+4lg2+3lg2+…+（6-n）lg2
=[5+4++3+2+…+（6-n）]lg2
==（11n-n2）lg2，
由于lg2＞0，当且仅当11n-n2最大时，Tn最大，
所以当Tn最大时，n=5或6．