Question

已知函数f （x）=（x-1）²，数列{a_n}是公差为d的等差数列，数列{b_n}是公比为q的等比数列（q∈R，q≠1，q≠0）．若a₁=f（d-1），a₃=f （d+1），b₁=f （q-1），b₃=f （q+1），
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的前n项和为S_n，
①求证：对任意的n≥2，（n∈N^*）时  
②设数列{c_n}对任意的自然数n均有成立，求c₁+c₂+c₃+…+c_n的值．

Answer

（1）用d表示出a1，a3，由a3-a1=2d可得关于d的方程，解出d可得an，用q表示出b1，b3，由可得q的方程，解出q可得bn；
（2）①由（1）可得Sn，利用裂项相消法可求得+…+，由结果可作出证明；②由+++…+=Sn+1，得+++…+=Sn（n≥2），两式相减可求得cn，注意验证n=1也适合，利用错位相减法可求得c1+c2+c3+…+cn的值．
【解析】
（1），，
∴a3-a1=2d，即d2-（d-2）2=2d，解得d=2，
∴a1=0，an=2（n-1），
又b1=f（q-1）=（q-2）2，b3=f （q+1）=q2，，
∴，
∵q≠1，∴；
（2）①证明：∵Sn=n（n-1），
∴=-（n≥2），
则+…+=（1-）+（）+…+（-）=1-＜1；
②由+++…+=Sn+1，得
+++…+=Sn（n≥2），
两式相减得=Sn+1-Sn=an+1=2n，n=1也符合，
∴cn=2n•bn=2n•3n-1=，
令，
利用错位相减法可得
∴c1+c2+c3+…+cn==．