Question

如图，四边形ABCD为矩形，BC上平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE．

Answer

（1）由线面垂直的判定与性质，结合题意证出AE⊥BC且AE⊥BF，可得AE⊥平面BCE，再结合BE⊂平面BCE，即可证出AE⊥BE；
（2）取DE的中点P，连接PA、PN，利用三角形中位线定理和矩形的性质，证出PN∥AM且PN=AM，可得四边形AMNP是平行四边形，从而MN∥AP，结合线面平行判定定理，即可证出MN∥平面DAE．
【解析】
（1）∵BC⊥平面ABE，AE⊂平面ABE，
∴AE⊥BC，…（2分）
又∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，
∴AE⊥BF，…（4分）
又∵BF∩BC=B，∴AE⊥平面BCE…（6分）
∵BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE．       …（8分）
（2）取DE的中点P，连接PA、PN，因为点N为线段CE的中点．
所以PN∥DC，且，…（10分）
又∵四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，
∴AM∥DC，且，
∴PN∥AM，且PN=AM，可得四边形AMNP是平行四边形，MN∥AP…（12分）
∵AP⊂平面DAE，MN⊄平面DAE，
∴MN∥平面DAE．   …（14分）