Question

已知函数f（x）=alnx+x²（a为实常数）．
（1）若a=-2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）当a=-2时故函数 在（1，+∞）上是增函数．
（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥-2，f'（x）在[1，e]上非负，故函数f（x）在[1，e]上是增函数．
若-2e2＜a＜-2，当时f'（x）=0，当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数； 当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．
所以此时有最值．若a≤-2e2，f'（x）在[1，e]上非正，所以[f（x）]min=f（e）=a+e2．
（3）由题意可化简得（x∈[1，e]），令（x∈[1，e]），利用导数判断其单调性求出最小值为g（1）=-1．
【解析】
（1）当a=-2时，f（x）=x2-2lnx，当x∈（1，+∞），，
（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．
若a≥-2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=-2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．
若-2e2＜a＜-2，当时，f'（x）=0；
当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；
 当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．
故[f（x）]min==．
若a≤-2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=-2e2，x=e时，f'（x）=0），
故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．
综上可知，当a≥-2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当-2e2＜a＜-2时，f（x）
的最小值为，相应的x值为；当a≤-2e2时，f（x）的最小值为a+e2，
相应的x值为e．
（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x-lnx）≥x2-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
因而（x∈[1，e]）
令（x∈[1，e]），又，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，
故g（x）的最小值为g（1）=-1，所以a的取值范围是[-1，+∞）．