Question

如图所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、BA的方向运动，当第二次MF=MN时M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为t秒．试解答下列问题：
（1）求F、M、N三点共线时t的值；
（2）设△FMN的面积为S，写出S与t的函数关系式．并求出t为何值时S的值最大．
（3）试问t为何值时，△FMN为直角三角形？

Answer

以A为坐标原点，AB，AD为x，y轴正方向建立坐标系，结合两点之间的距离公式，构造关于t的方程，解方程可得t的取值范围
（1）若F、M、N三点共线，则∥，结合向量共线的充要条件，可求出满足条件的t值．
（2）结合（1）的结论，分t＜2+2时，t=2+2时，2+2＜t≤6时和6＜t≤10+2时四种情况分别求出△FMN面积的最值，最后综合讨论结果，可得答案．
（3）利用勾股定理和两点之间的距离公式，分别讨论可得△FMN为直角三角形时的t值．
【解析】
以A为坐标原点，AB，AD为x，y轴正方向建立坐标系，
则A（0，0），B（6，0），C（6，4），D（0，4），F（2，4），M（0，4-t），N（6-t，0）
若MF=MN，则4+t2=（4-t）2+（6-t）2
即t2-20t+48=0
解得t=10±2
故t∈[0，10+2]
（1）若F、M、N三点共线，则∥
即（-2，-t）∥（4-t，-4）
即t2-4t-8=0
解得t=2+2
（2）①当t＜2+2时，如下图所示：

S△FMN=SABCD-S△AMN-S△DMF-SNBFC
=4×6-×（4-t）（6-t）-×2×t-×（4+t）×4
=-t2+2t+4，
此时t=2时，S△FMN取最大值6
②当t=2+2时，如下图所示：

F、M、N三点共线，S△FMN=0
③当2+2＜t≤6时，如下图所示：

S△FMN=×NE×DM=×[-（6-t）]×t=t2-2t-4，
此时t=6时，S△FMN取最大值2
④当6＜t≤10+2时，如下图所示：

S△FMN=×NE×DM=×[（t-6）+]×t=t2-2t-4，
此时t=10+2时，S△FMN取最大值52+16
综上所述t=10+2时，S△FMN取最大值52+16
（3）若△FMN为直角三角形，
①若FM为斜边，则FM2=FN2+MN2，
即4+t2=（4-t）2+（6-t）2+（4-t）2+16
即t2-14t+40=0
解得t=4，或t=10
②若FN为斜边，则FN2=FM2+MN2，
即（4-t）2+（6-t）2=4+t2+（4-t）2+16
即12t=16
解得t=
③若MN为斜边，则MN2=FN2+FM2，
即4+t2+（4-t）2+（6-t）2=（4-t）2+16
即t2-8t+12=0
解得t=2，或t=6
综上所述△FMN为直角三角形，t=4，或t=10，或t=，或t=2，或t=6