Question

设平面上P、Q两点的坐标分别是P=（cos）、Q，其中x．
（Ⅰ）求|PQ|的表达式；
（Ⅱ）记f（x）=|PQ|²-|PQ|，求函数f（x）的最小值和最大值．

Answer

（I）由两点间的距离公式，结合三角恒等变换公式化简得|PQ|=2|cosx|，再由x可得|PQ|=2cosx；
（II）由（I）的|PQ|表达式，得f（x）=4cos2x-2cosx=4（cosx-）2-，再由cosx∈[0，1]结合二次函数性质即可算出f（x）的最小值和最大值．
【解析】
（I）P=（cos）、Q，
∴|PQ|=
=
===2|cosx|
∵x，∴cosx＞0，可得|PQ|=2cosx…（6分）
（II）f（x）=|PQ|2-|PQ|=4cos2x-2cosx=4（cosx-）2-…（8分）
∵x，得cosx∈[0，1]
∴由二次函数性质知：当cosx=时，f（x）有最小值-
当cosx=1时，f（x）有最大值2…（12分）