Question

设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+，函数f（x）的图象与x轴的交点也在函数g（x）的图象上，且在此点有公切线．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）证明：当0＜x≤1时，f（x）≥g（x）；当x＞1时，f（x）＜g（x）．

Answer

（Ⅰ）先求出两个函数的导函数，再利用函数f（x）的图象与x轴的交点也在函数g（x）的图象上，且在此点处f（x）与g（x）有公切线对应的等式即可求a、b的值；
（Ⅱ）先设F（x）=f（x）-g（x），再求出其导函数，得出其在（0，+∞）上是减函数且F（1）=0，即可得f（x）与g（x）的大小．
【解析】
（I）由题意：，，（2分）
∴由题意可得：
解得．（5分）
（Ⅱ）由（I）可知g（x）=（x-），
令F（x）=f（x）-g（x）=lnx-（x-），
∵==≤0，（8分）
∴F（x）是（0，+∞）上的减函数，而F（1）=0，（9分）
∴当x∈（0，1）时，F（x）＞0，有f（x）＞g（x）；
当x∈（1，+∞）时，F（x）＜0，有f（x）＜g（x）；
当x=1时，F（x）=0，有f（x）=g（x）．
故有当0＜x≤1时，f（x）≥g（x）；当x＞1时，f（x）＜g（x）．（12分）