Question

如图，设F是椭圆的左焦点，MN为椭圆的长轴，|MN|=8，焦距为2c，对于点P（）有|PM|=2|MF|
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求证：对于任意的割线PAB，恒有∠AFM=∠BFN．

Answer

（Ⅰ）由|MN|=8，知a=4，由|PM|=2|MF|，得-a=2（a-c），由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）当AB的斜率为0时，∠AFM=∠BFM=0，满足题意．当AB方程为x=my-8，代入椭圆方程得（3m2+4）y2-48my+144=0，由kAF+kBF=0，得到∠AFM=∠BFN．
故恒有∠AFM=∠BFN．
【解析】
（Ⅰ）【解析】
（1）∵线段MN为椭圆的长轴，且|MN|=8，∴a=4
∵|PM|=2|MF|，
∴-a=2（a-c）
∴a2-ac=2ac-2c2，
∴2e2-3e+1=0，
解得e=或e=1（舍去）
∴c=2，b2=a2-c2=12，
∴椭圆的标准方程为=1．
（2）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFM=0，满足题意．
当AB方程为x=my-8，代入椭圆方程整理得
（3m2+4）y2-48my+144=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
∴kAF+kBF====0
∴kAF+kBF=0，从而∠AFM=∠BFN  综上可知，恒有∠AFM=∠BFN．