Question

已知函数y=f（x）的图象经过坐标原点，且f′（x）=2x-1，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）（n∈N*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a_n+log₃n=log₃b_n求数列{b_n}的前n项和．

Answer

（1）由导函数得到原函数f（x），因为函数f（x）过原点，把（0，0）代入求出f（x）得到Sn=f（n）推出an即可；
（2）由题中（2）的条件求出bn，设bn的前n项和为Tn，求出即可．
【解析】
（1）由f′（x）=2x-1得：
f（x）=x2-x+b（b∈R）
∵y=f（x）的图象过原点，
∴f（x）=x2-x，
∴Sn=n2-n
∴an=Sn-Sn-1
=n2-n-[（n-1）2-（n-1）]
=2n-2（n≥2）
∵a1=S1=0
所以，数列{an}的通项公式为
an=2n-2（n∈N*）
（2）由an+log3n=log3bn得：
bn=n•32n-2（n∈N*）
Tn=b1+b2+b3++bn
=3+2•32+3•34++n•32n-2（1）
∴9Tn=3+2•32+3•34++n•32n（2）
（2）-（1）得：
∴