Question

定义在D上的函数f（x），如果满足；对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=1+a•2^x+4^x，g（x）=．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（0，+∞）上的值域，并判断函数f（x）在（0，+∞）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）求函数g（x）在[0，1]上的上界T的取值范围；
（3）若函数f（x）在（-∞，0]上是以3为上界的函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）利用换元法得到函数的表示式，根据二次函数的性质得到函数的值域，从值域上观察不存在正数M，即函数在x∈（0，+∞）上不是有界函数
（2）据题意先研究函数g（x）在[0，1]上的单调性，确定函数g（x）的范围，即分别求的最大值和最小值，根据上界的定义，得到上界的取值范围．
（3）根据函数f（x）在（-∞，0]上是以3为上界的函数，得到|1+a2x+4x|≤3，换元以后得到关于t的不等式，根据二次函数的性质写出对称轴，求出a的范围
【解析】
（1）当a=1时，f（x）=1+a•2x+4x，设t=2x，所以t∈（1，+∞）
∴函数的值域是（3，+∞），不存在正数M，即函数在x∈（0，+∞）上不是有界函数．
（2）g（x）==
又x∈[0，1]，函数在此区间上是减函数，故g（1）≤g（x）≤g（0）
∴≤g（x）≤1
故上界的取值范围是[1，+∞）
（3）由已知函数f（x）在（-∞，0]上是以3为上界的函数，即：|1+a×2x+4x|≤3
设t=2x，所以t∈（0，1），不等式化为|1+at+t2|≤3
当0 时，1-且2+a≤3得-2≤a＜0
当 ≤0或≥1
即a≤-2或a≥0时，得-5≤a≤-2或0≤a≤1
综上有-5≤a≤1