Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E为BB₁中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥D₁E；
（Ⅱ）求DE与平面AD₁E所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱AD上是否存在一点P，使得BP∥平面AD₁E？若存在，求DP的长；若不存在，说明理由．

Answer

（I）利用线面垂直的判定定理，证明AC⊥平面BB1D1D，即可得到AC⊥D1E；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，确定面AD1E的法向量，利用向量的夹角公式，即可求DE与平面AD1E所成角的正弦值；
（Ⅲ）利用BP∥平面AD1E，可得，利用向量的数量积公式，可得结论．
（Ⅰ）证明：连接BD
∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，∴D1D⊥平面ABCD，
又AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC…1分
在长方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC…2分
又BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，…3分
而D1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥D1E…4分
（Ⅱ）【解析】
如图建立空间直角坐标系Dxyz，则A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），
∴…5分
设平面AD1E的法向量为，则，即
令z=1，则…7分     
∴…8分
∴DE与平面AD1E所成角的正弦值为…9分
（Ⅲ）【解析】
假设在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E．
设P的坐标为（t，0，0）（0≤t≤1），则
∵BP∥平面AD1E
∴，即，
∴2（t-1）+1=0，解得，…12分
∴在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E，此时DP的长．…13分．