Question

已知函数f（x）=．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值2，求a，b的值；
（Ⅱ）当2b=a²-1时，讨论函数f（x）的单调性．

Answer

（Ⅰ）利用函数f（x）在x=1处取得极值2，得到两个条件f（1）=2，f′（1）=0，利用两个条件解a，b的值
（Ⅱ）由2b=a2-1，代入进行消元，然后求导，讨论a的取值范围，利用导数研究函数的单调性．
【解析】
（Ⅰ）由于，则=
因为f（x）在x=1处有极值2，所以有，即，
解得，经检验a=-4，b=0符合题意．
所以，当f（x）在x=1处有极值2时，a=-4，b=0．
（Ⅱ）因2b=a2-1，所以=
①当a=0时，，令f′（x）=0，得x=0，
则当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0．
所以f（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（-∞，0）．
②当a≠0时，令f′（x）=0，得x=a，或
i）当a＞0时，，
则当x∈（）时，f′（x）＜0；当x∈或（a，+∞）时，f′（x）＞0．
所以f（x）的增区间为，（a，+∞），减区间为．
ii）当a＜0时，得．
则当x∈（）时，f′（x）＞0；当x∈（-∞，a）或（，+∞）时，f′（x）＜0．
所以f（x）的增区间为，减区间为（-∞，a），（，+∞）．
综上所述，当a=0时，f（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（-∞，0）．
当a＞0时，f（x）的增区间为，（a，+∞），减区间为．
当a＜0时，f（x）的增区间为，减区间为（-∞，a），（，+∞）．