Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（Ⅰ）求证：B₁D₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求二面角C₁-BD-C的正切值．

Answer

（I）由正方体的性质，证出四边形BB1D1D是平行四边形，可得B1D1∥BD，利用线面平行判定定理即可证出B1D1∥平面BC1D；
（II）连结AC交BD于O，连结C1O，由正方体的性质结合线面垂直的判定与性质，证出BD⊥平面AA1C1C，从而∠C0C1就是二面角C1-BD-C的平面角，RtC0C1中利用三角函数的定义，即可算出即二面角C1-BD-C的正切值等于．
【解析】
（I）∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥DD1且BB1=DD1
∴四边形BB1D1D是平行四边形，可得B1D1∥BD
∵B1D1⊄平面BC1D，BD⊂平面BC1D，
∴B1D1∥平面BC1D；
（II）连结AC，交BD于O，连结C1O
∵CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴CC1⊥BD
又∵正方形ABCD中，AC⊥BD，CC1∩AC=C
∴BD⊥平面AA1C1C
结合C1O⊂平面AA1C1C，得BD⊥C1O
因此∠C0C1就是二面角C1-BD-C的平面角
设正方体的棱长为1，
则RtC0C1中，CC1=1，C0=
∴tan∠C0C1==，即二面角C1-BD-C的正切值等于．