Question

设f（x）=+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率；
（2）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M．

Answer

（1）当a=2时，f（x）=+xlnx，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率；
（2）存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立，利用导数求出函数g（x）的最大值和最小值，然后求出g（x）max-g（x）min，从而求出满足条件的最大整数M．
【解析】
（1）当a=2时，f（x）=+xlnx，+lnx+1，
∴f（1）=2，f′（1）=-1．
∴y=f（x）在x=1处的切线斜率为-1；
（2）存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立
g（x）=x3-x2-3，g′（x）=3x2-2x=3x（x-）
当x∈（0，）时，g′（x）＜0，当x∈（，2）时，g′（x）＞0，
∴g（x）min=g（）=-，g（x）max=g（2）=1
g（x）max-g（x）min=
∴满足条件的最大整数M=4