Question

设函数f（x）=x-ln（x+2），证明函数f（x）在区间[e^-2-2，e⁴-2]内至少有两个零点．

Answer

对其进行求导利用导数研究其单调区间，将问题转化为f（x）在[e-2-2，e4-2]上的最值问题，由于最小值小于0，两端点函数值均大于0，即得证．
【解析】
由于函数f（x）=x-ln（x+2），则f′（x）=1-=（x＞-2），
由f′（x）＞0，得x＞0；
由f′（x）＜0，得-2＜x＜0；
所以f（x）在[-2，0]在上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，
则f（x）最小值=f（0）=-ln2＜0
f（e-2-2）=e-2-2-lne-2=e-2＞0
f（e4-2）=e4-2-lne4=e4-6＞0
故函数f（x）在区间[e-2-2，e4-2]内至少有两个零点．