Question

某公司是一家专做产品A的销售企业，第一批产品A上市销售后40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，发现：市场的每天销售量（单位：百件）与上市时间f（单位：天）的关系是一条折线（如图①），每件产品A的销售利润（单位：元/件）与上市时间t（单位：天）的关系也是一条折线（如图②）．

（Ⅰ）写出市场每天的销售量f（x）与产品A上市时间t的关系式（不需求解过程）；
（11）第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过3 000（百元）？

Answer

（Ⅰ）市场日销售量y与上市时间t，每件销售利润p与上市时间t这两个函数都为分段函数，当t≤30时，设一次函数为y=kt，将点（30，60）代入可将此函数关系式表示出来；当30＜t≤40时，设一次函数为y=k1t+b，将点（30，60），（40，0）代入进行求解，可将日销售量与上市时间t的关系式写出；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，日销售量与上市时间t的关系式，同理可求出销售利润与上市时间t的函数关系式；
【解析】
（Ⅰ）由图①可得，
当0≤t≤30时，设市场的日销售量y=kt，
∵点（30，60）在图象上，∴60=30k，
∴k=2，即y=2t；
当30＜t≤40时，设市场的日销售量y=k1t+b，
∵点（30，60）和（40，0）在图象上，
∴60=30k1+b且0=40k1+b，
解得k1=-6，b=240．
∴y=-6t+240．
综上可知，日销售量与上市时间t的关系式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，
由图②可得：每件产品的日销售利润为，
则这家公司的日销售利润L（t）=f（t）•
当0≤t≤20时，L（t）=6t2，此时利润的最大值是L（20）=2400＜3000；
当20＜t≤30时，L（t）=120t，令120t＞3000，解得：25＜t≤30；
当30＜t≤40时，L（t）=-360t+14400，令-360t+14400＞3000，解得：30＜t；
故第一批产品A上市后的第26，27，28，29，30，31天，这家公司的日销售利润超过3 000（百元）
答：（Ⅰ）日销售量与上市时间t的关系式为．
（Ⅱ）第一批产品A上市后的第26，27，28，29，30，31天，这家公司的日销售利润超过3 000（百元）