Question

设定义在R上的函数f（x）满足（1）当m，n∈R时，f（m+n）=f（m）•f（n）；（2）f（0）≠0；（3）当x＜0时，f（x）＞1，则在下列结论中：
①f（a）•f（-a）=1；
②f（x）在R上是递减函数；
③存在x，使f（x）＜0；
④若，则；
正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

利用抽象函数的条件，利用赋值法分别进行求值判断．①求出f（0）=1即可．②利用函数的单调性的定义，进行判断．③利用函数的奇偶性进行判断．④利用赋值法进行求值．
【解析】
令x=y=0，则f（0+0）=f（0）f（0）=f（0），因为f（0）≠0，所以f（0）=1．当m=n时，f（2m）=f（m）f（m）=[f（m）]2＞0
①因为f（a）•f（-a）=f（a-a）=f（0）=1，所以①正确．
②设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=f（x1-x2+x2）-f（x2）=f（x1-x2）f（x2）-f（x2）=f（x2）[f（x1-x2）-1]，
因为x1＜x2，所以x1-x2＜0，所以f（x1-x2）＞1，所以f（x2）＞0，f（x1-x2）-1＞0，
所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）在R上是递减函数，所以②正确．
③当m=n时，f（2m）=f（m）f（m）=[f（m）]2≥0，所以不存在x，使f（x）＜0，所以③错误．
④由②知，f（x）在R上是递减函数，所以f（2），所以④错误．
故正确是①②．
故选B．