Question

已知{a_n}是各项均为正数的等差数列，lga₁，lga₂，lga₄成等差数列．又，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）如果数列{b_n}前3项的和等于，求数列{a_n}的首项a₁和公差d．

Answer

（1）先设{an}中首项为a1，公差为d，根据等差中项的性质可知2lga2=lga1+lga4，把a1和d关系找出来，即d=0或d=a1，然后对d的两种情况进行讨论即可确定答案．
（2）当d=0时根据b1+b2+b3可求得a1；当d=a1时，根据bn=，再根据b1+b2+b3=，求得a1．
（1）证明：设{an}中首项为a1，公差为d．
∵lga1，lga2，lga4成等差数列
∴2lga2=lga1+lga4
∴a22=a1•a4，即（a1+d）2=a1（a1+3d）
∴d=0或d=a1
当d=0时，an=a1，bn=，
∴，
∴{bn}为等比数列；
当d=a1时，an=na1，bn=，
∴，
∴{bn}为等比数列
综上可知{bn}为等比数列
（2）当d=0时，bn=，
∴b1+b2+b3==
∴a1=；
当d=a1时，bn=
∴b1+b2+b3=
∴a1=3
综上可知或