Question

（文）已知函数f（x）=ax³-bx²+9x+2，若f（x）在x=1处的切线方程是3x+y-6=0．
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若对于任意的，都有f（x）≥t²-2t-1成立，求函数g（t）=t²+t-2的最小值及最大值．

Answer

（1）易求切点坐标（1，3），由题意可得f（1）=3，f′（1）=-3，从而可得关于a，b的方程组，解出可得f（x）解析式，然后解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函数的单调区间；
（2）对于任意的，都有f（x）≥t2-2t-1成立，等价于，从而可求t的范围，在该范围内，利用二次函数的性质可求g（t）的最大值、最小值；
【解析】
（1）切点坐标为（1，3），
f′（x）=3ax2-2bx+9，
由题意可得，即，
解得a=4，b=12，
所以f（x）=4x3-12x2+9x+2，
f′（x）=12x2-24x+9，
令f′（x）＞0，得x＜或x＞，令f′（x）＜0，得，
所以f（x）的增区间为（-∞，）和（），减区间为（，）；
（2）由（1）知，f（x）在[]上递增，在[]上递减，在[]递增，
且f（）=，f（）=2，f（）＞f（），
所以f（x）在[，2]上的最小值为2，
由f（x）≥t2-2t-1在[，2]上恒成立，得2≥t2-2t-1，即）t2-2t-3≤0，解得-1≤t≤3，
g（t）=t2+t-2=，
当t=-时，，当t=3时，g（t）max=10．