Question

设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：（1）方程f（x）-x=0有实数解；（2）函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．给出如下函数：
①；
②f（x）=x+tanx，；
③f（x）=log₃x+1，x∈[1，+∞）．
其中是集合M中的元素的有    ．（只需填写函数的序号）

Answer

逐个判定函数是否满足：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1”即可．
【解析】
①因为f′（x）=，
所以f′（x）∈[，]满足条件0＜f'（x）＜1，
又因为当x=0时，f（0）=0，所以方程f（x）-x=0有实数根0．
所以函数是集合M中的元素．
②当x=0时，f（0）=0，所以方程f（x）-x=0有实数根0，满足条件（1），
但f′（x）=1+＞1，不满足条件（2），
故②不是M中的元素；
③当x=1时，f（1）=1，所以方程f（x）-x=0有实数根1，满足条件（1），
f′（x）=，当x≥1时，0＜≤＜1，满足条件（2），
所以③是M中的元素；
故答案为：①③