Question

椭圆上有n个不同的点P₁，P₂，…，P_n，椭圆的右焦点为F，数列{|P_nF|}是公差大于的等差数列，则n的最大值是（ ）
A．2000
B．2001
C．2003
D．2005

Answer

设P（xn，yn），P到右准线的距离为dn，由圆锥曲线的统一定义算出|PnF|=2-xn，结合题意数列{|PnF|}是公差大于的等差数列，得出关于横坐标x1、xn的不等式，再利用椭圆上点的横坐标范围，解之即可得到n的取值范围，从而得出n的最大值．
【解析】
求得椭圆的a=2，b=，c=1
右焦点为F（1，0），离心率e=
设P（xn，yn），P到右准线x=4的距离为dn，
根据圆锥曲线的统一定义，得=e=
∴|PnF|=dn=（4-xn）=2-xn，
∵数列{|PnF|}是公差大于的等差数列，
∴|PnF|-|P1F|，可得x1-xn
化简得x1-xn＞，
结合椭圆上点的横坐标的范围，得x1-xn＜2a=4
∴，得n＜2001，得n的最大值为2000
故选：A