Question

已知一个函数的解析式为y=x²，它的值域是{1，4}．
（1）研究此函数的定义域的所有可能情况（每一种可能情况用一个集合表示）；
（2）将函数定义域中各元素之和记为S，试求S=3k+1（k∈Z）的概率．

Answer

（1）由已知令y=x2=1或4，则函数的定义域中至少要有1或-1且至少要有2或-2，故可得函数的定义域有9种可能情况；
（2）在（1）中，各个集合中元素的和分别为3；-1；1；-3；2；-2；1；-1；0．由于S=3k+1（k∈Z）的有3种情况：S=1，S=-2，S=1，故可得．
【解析】
（1）y=x2=1，则x=±1，y=x2=4，则x=±2，
∴函数的定义域中至少要有1或-1且至少要有2或-2．…（2分）
∴函数的定义域有9种可能情况：{1，2}；{1，-2}；{-1，2}；{-1，-2}；
{1，-1，2}；{1，-1，-2}；{1，-2，2}；{-1，-2，2}；
{1，-1，-2，2}．…（7分）
（2）在（1）中，各个集合中元素的和分别为3；-1；1；-3；2；-2；1；-1；0．
记“定义域中各元素之和S=3k+1（k∈Z）”为事件A，
因为S=3k+1（k∈Z）的有3种情况：S=1，S=-2，S=1．…（10分）
∴．…（13分）
∴函数定义域中各元素之和S=3k+1（k∈Z）的概率为．…（14分）