Question

已知函数，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤．
（Ⅰ）当cosθ=0时，判断函数f（x）是否有极值；
（Ⅱ）要使函数f（x）的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
（Ⅲ）若对（II）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f（x）在区间（2a-1，a）内都是增函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）先求函数的导数，f′（x）＞0在（-∞，+∞）上恒成立，得到函数的单调性，从而可判定是否有极值．
（2）先求出极值点，f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，求出极小值，使函数f（x）的极小值大于零建立不等关系，求出参数θ的取值范围即可．
（3）由（II）知，函数f（x）在区间（-∞，0）与内都是增函数，只需（2a-1，a）是区间（-∞，0）与的子集即可．
【解析】
（I）【解析】
当cosθ=0时，则f（x）在（-∞，+∞）内是增函数，
故无极值．
（II）【解析】
f'（x）=12x2-6xcosθ，令f'（x）=0，
得．
由及（I），只需考虑cosθ＞0的情况．
当x变化时，f'（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：

 x  （-∞，0）  0 （0，）    （） 
 f'（x） +  0  -  0 +
 f（x）  递增  极大值  递减  极小值  递增

因此，函数f（x）在处取得极小值，且．
要使，必有，
可得，所以
（III）【解析】
由（II）知，函数f（x）在区间（-∞，0）与内都是增函数．
由题设，函数f（x）在（2a-1，a）内是增函数，
则a须满足不等式组或
由（II），参数时，．要使不等式关于参数θ恒成立，必有．
综上，解得a≤0或．
所以a的取值范围是．