Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面长均为2，D为BC中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅲ）求三棱锥C₁-ADB₁的体积．

Answer

（Ⅰ）证明AD⊥平面B1BCC1，利用线面垂直的判定，证明CC1⊥AD，BC⊥AD，即可‘
（Ⅱ）连接A1C，交AC1于点O，连接OD，利用OD为△A1BC中位线，可得A1B∥OD，利用线面平行的判定，可证A1B∥平面ADC1；
（Ⅲ）利用等体积VC1-ADB1=VA-C1DB1，可得结论．
（Ⅰ）证明：因为ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以CC1⊥平面ABC
因为AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD
因为△ABC是正三角形，D为BC中点，所以BC⊥AD，…（4分）
因为CC1∩BC=C，所以AD⊥平面B1BCC1．…（5分）
（Ⅱ）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．

由 ABC-A1B1C1是正三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．
又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线，
所以A1B∥OD，…（8分）
因为A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1；（10分）
（Ⅲ）【解析】
VC1-ADB1=VA-C1DB1==．…（14分）