Question

已知数列A_n：a₁，a₂，…，a_n．如果数列B_n：b₁，b₂，…，b_n满足b₁=a_n，b_k=a_k-1+a_k-b_k-1，其中k=2，3，…，n，则称B_n为A_n的“衍生数列”．
（Ⅰ）写出数列A₄：2，1，4，5的“衍生数列”B₄；
（Ⅱ）若n为偶数，且A_n的“衍生数列”是B_n，证明：b_n=a₁；
（Ⅲ）若n为奇数，且A_n的“衍生数列”是B_n，B_n的“衍生数列”是C_n，…．依次将数列A_n，B_n，C_n，…的首项取出，构成数列Ω：a₁，b₁，c₁，…．证明：Ω是等差数列．

Answer

（Ⅰ）根据“衍生数列”的定义可得 B4：5，-2，7，2．
（Ⅱ）证明：因为 b1=an，b1+b2=a1+a2，b2+b3=a2+a3，…bn-1+bn=an-1+an，由于n为偶数，将上述n个等式中的第2，4，6，…，n这个式子都乘以-1，
相加可得-bn=-a1，故 bn=a1．
（Ⅲ）因为 b1=an，b1+b2=a1+a2，b2+b3=a2+a3，…bn-1+bn=an-1+an，由于n为奇数，将上述n个等式中的第2，4，6，…，n-1这个式子都乘以-1，
相加得bn=an-a1+an=2an-a1．设数列Bn的“衍生数列”为Cn，因为 b1=an，c1=bn=2an-a1，所以 2b1=a1+c1，即a1，b1，c1成等差数列，同理证其它，
由此可得结论．
【解析】
（Ⅰ）B4：5，-2，7，2．…（3分）
（Ⅱ）证明：因为 b1=an，b1+b2=a1+a2，b2+b3=a2+a3，
…bn-1+bn=an-1+an，
由于n为偶数，将上述n个等式中的第2，4，6，…，n这个式子都乘以-1，
相加得b1-（b1+b2）+（b2+b3）-…-（bn-1+bn）=an-（a1+a2）+（a2+a3）-…-（an-1+an），
即-bn=-a1，bn=a1．…（8分）
（Ⅲ）证明：对于数列An及其“衍生数列”Bn，因为 b1=an，b1+b2=a1+a2，b2+b3=a2+a3，…bn-1+bn=an-1+an，
由于n为奇数，将上述n个等式中的第2，4，6，…，n-1这个式子都乘以-1，
相加得b1-（b1+b2）+（b2+b3）-…+（bn-1+bn）=an-（a1+a2）+（a2+a3）-…+（an-1+an）即bn=an-a1+an=2an-a1．
设数列Bn的“衍生数列”为Cn，因为 b1=an，c1=bn=2an-a1，
所以 2b1=a1+c1，即a1，b1，c1成等差数列．…（12分）
同理可证，b1，c1，d1；c1，d1，e1，…也成等差数列．
从而Ω是等差数列．…（13分）