Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，∠BAC=90°，D为棱的中点．
（I）证明：A₁D⊥平面ADC；
（II）求异面直线A₁C与C₁D所成角的大小；
（III）求平面A₁CD与平面ABC所成二面角的大小（仅考虑锐角情况）．

Answer

（I）为了证明A1D⊥平面ADC，只需证明A1D垂直平面ADC内的两条相交直线AD和CA，即可．
（II）连AC1交A1C于E点，取AD中点F，连EF、CF，则EF∥C1D，∠CEF是异面直线A1C与C1D所成的角，求解即可；
（III）延长A1D与AB延长线交于G点，连接CG，过A作AH⊥CG于H点，连A1H，则∠A1HA是二面角A1-CG-A的平面角，即所求二面角的平面角，求解即可．
【解析】
（I）证：∵△A1B1D和△ABD都为等腰直角三角形
∴∠A1DB1=∠ADB=45°∴∠A1DA=90°，即A1D⊥AD（2分）
又∵
∴A1D⊥平面ADC（4分）

（II）【解析】
连AC1交A1C于E点，取AD中点F，连EF、CF，则EF∥C1D
∴∠CEF是异面直线A1C与C1D所成的角（或补角）（5分）
，，
在△CEF中，（8分）
∴
则异面直线A1C与C1D所成角的大小为（9分）

（III）【解析】
延长A1D与AB延长线交于G点，连接CG
过A作AH⊥CG于H点，连A1H，∵A1A⊥平面ABC，∴A1H⊥CG（三垂线定理）
则∠A1HA是二面角A1-CG-A的平面角，即所求二面角的平面角（10分）
在直角三角形ACG中，∵AC=a，AG=2a∴，∴（11分）
在直角三角形A1AH中，（13分）
∴，
即所求的二面角的大小为（14分）