Question

数列{a_n}（n∈N^*）中，a₁=1，且点（a_n，a_n+1）在直线l：2x-y+1=0上．
（Ⅰ）设b_n=a_n+1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）设c_n=n（3a_n+2），求{c_n}的通项公式；
（Ⅲ）T_n是{c_n}的前n项和，试比较2T_n与23n²-13n的大小．

Answer

（Ⅰ）依题意，可求得=2，b1=2，从而可证数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an=bn-1=2n-1，而cn=n（3an+2），从而可求{cn}的通项公式；
（Ⅲ）依题意，Tn=3（2+2•22+3•23+…+n•2n）-（1+2+3+…+n），设Sn=2+2•22+3•23+…+n•2n，利用错位相减法可求得Sn，从而可求Tn；令I=2Tn-（23n2-13n）
分n=1，n=2及n≥3讨论，最后利用数学归纳法证明n≥3时，2Tn＞23n2-13n即可．
（I）证明：∵点（an，an+1）在直线l：2x-y+1=0上，
∴an+1=2an+1，
∴bn+1=an+1+1=2an+2…2…（2分）
∵bn=an+1≠0，
∴==2，
∴数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列…（4分）
（II）【解析】
由（Ⅰ）知，an=bn-1=2n-1…（6分）
∴Cn=n[3（2n-1）+2]=n（3•2n-1）=3n•2n-n…（8分）
（III）Tn=3（2+2•22+3•23+…+n•2n）-（1+2+3+…+n），
设Sn=2+2•22+3•23+…+n•2n，＜1＞
则2Sn=22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1，＜2＞
＜2＞-＜1＞得：Sn=-2-22-23-…-2n+n•2n+1
=-+n•2n+1
=（n-1）•2n+1+2，
∴Tn=3[（n-1）•2n+1+2]-…（10分）
∴I=2Tn-（23n2-13n）
=12（n-1）•2n-12（n-1）（2n+1）
=12n（n-1）（2n-2n-1）
当n=1时，2Tn=23n2-13n；…（11分）
n=2时，2Tn＜23n2-13n；…（12分）
n≥3时，I＞0，
∴2Tn＞23n2-13n…（13分）
用数学归纳法证明如下：
（1）n=3时，I=24＞0，
（2）假设n=k（k≥3，k∈N*）时成立，即I=12（k-1）（2k-2k-1）＞0，
即2k＞2k+1；
当n=k+1时，I=12（k+1-1）[2k+1-2（k+1）-1]
=12k（2•2k-2k-3）
＞12k[2（2k+1）-2k-3]=12k（2k-1），
∵k≥3，
∴I＞0．
综上可知，n≥3时，I＞0，∴2Tn＞23n2-13n．…（14分）
综上可知，当n=1时，2Tn=23n2-13n；
n=2时，2Tn＜23n2-13n；
n≥3时，2Tn＞23n2-13n…（15分）