Question

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F（c，0）（c＞0），右准线为l：x=，|AF|=3，过点F作直线交双曲线的右支于P、Q两点，延长PB交右准线l于M点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若=-17，求△PBQ的面积S；
（Ⅲ）若=（λ≠0，λ≠-1），问是否存在实数μ=f（λ），使得，若存在，求出μ=f（λ）的表达式；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）直接由题意列出关于a，b，c的方程组，求解后可得双曲线的方程；
（Ⅱ）设出直线PQ的方程和P，Q的坐标，联立直线和双曲线方程后利用=-17结合根与系数关系求出直线的斜率，利用弦长公式求得弦长，代入三角形的面积公式求解；
（Ⅲ）由点斜式写出PB的方程，取x=得到M的坐标，结合=把点P和Q的坐标化为含有λ的表达式，利用响亮的坐标加减法得到和，通过一系列的整理变形得到两向量共线．
【解析】
（Ⅰ）由题意知⇒，
则双曲线方程为；
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由题意知F（2，0），A（-1，0），B（1，0）．
有准线l：
设PQ方程为y=k（x-2），代入双曲线方程3x2-y2-3=0，
可得（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）=0．
由于P、Q都在双曲线右支上，所以
⇒k2＞3
∴=
由于
由⇒⇒k2=4
此时，x1+x2=16，x1x2=19，y1y2=-36
∴y1+y2=k（x1-2）+k（x2-2）=k（x1+x2-4）=12k
∴S
=
（III）存在实数μ满足题设条件
∵PB的方程为
令，得，即M（）
∵，∴（2-x1，-y1）=λ（x2-2，y2）
即⇒
又⇒③
把③代入②得，④
由①、④得：
又
∴
=
=
=
=
=．
令，∴
故存在实数μ，满足题设条件．