Question

设函数f（x）=Ax³+Bx²+Cx+6A+B，其中实数A，B，C满足：①-8B+1≤12A+4C≤8B+9，②3A＜-B≤6A
（Ⅰ）求证：；；
（Ⅱ）设0≤x≤π，求证：f（2sinx）≥0．

Answer

（I）根据题中的两个不等式，化简变形得3A+2B+C≥，3A-2B+C≤．再求出函数f（x）的导数，算出f'（1）=3A+2B+C且f'（-1）=3A-2B+C，可得不等式，成立；
（II）由sinx在0≤x≤π时的值域得：欲原不等式成立，即证明当0≤x≤2时f（x）≥0．再根据f'（x）=3Ax2+2Bx+C的图象是开口向上的、关于直线x=对称的抛物线，结合二次函数的性质加以分析，利用题中条件进行不等式的放缩和配方，可得：0≤x≤2时f'（x）≥f'（1）-f'（-1）≥×-×=0，得f（x）在区间[0，2]上为增函数，从而当0≤x≤2时，f（x）≥f（0）=6A+B≥0．因此得到当0≤x≤π时，原不等式成立．
【解析】
（I）∵-8B+1≤12A+4C≤8B+9
∴3A+2B+C≥，3A-2B+C≤，
又∵f（x）=Ax3+Bx2+Cx+6A+B，可得f'（x）=3Ax2+2Bx+C
∴f'（1）=3A+2B+C≥，f'（-1）=3A-2B+C≤，
即不等式，成立；
（II）当0≤x≤π时，sinx∈[0，1]
因此不等式f（2sinx）≥0等价于当u∈[0，2]时，f（u）≥0
只须证明当0≤x≤2时，f（x）≥0
由条件②：3A＜-B≤6A，可得A＞0且∈（1，2]
∴f'（x）=3Ax2+2Bx+C是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x=∈（1，2]
又∵3A＜-B≤6A∴（3A+B）（6A+B）≤0，可得-B2≥18A2+9AB
∴当0≤x≤2时，有f'（x）≥f'（）==
∵=C+6A+3B=（3A+2B+C）+（3A+B）≥（3A+2B+C）+（-）+B≥（3A+2B+C）+
∴当0≤x≤2时，有
f'（x）≥f'（1）+×[f'（1）-f'（-1）]≥f'（1）-f'（-1）≥×-×=0
因此，f（x）在区间[0，2]上为增函数，
可得当0≤x≤2时，f（x）≥f（0）=6A+B≥0．
综上所述，当0≤x≤π时，不等式f（2sinx）≥0成立．