Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=，点F是PD的中点，点E在CD上移动．
（1）求三棱锥E-PAB体积；
（2）求证：PE⊥AF
（3）当点E在CD的什么位置时，EF∥平面PAC，并说明理由．

Answer

（1）由PA⊥平面ABCD可得VE-PAD=VP-ABE=S△ABE•PA，运算求得结果．
（2）由条件证明CD⊥平面PAD，可得AF⊥DC．再由AF⊥PD，证得AF⊥平面PDC，从而PE⊥AF．
（3）当点E为CD的中点时，EF||平面PAC．根据EF是三角形PCD的中位线可得EF||PC，再根据直线和平面
平行的判定定理证得EF||平面PAC．
【解析】
（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴．…（5分）
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．
∵ABCD是矩矩形，∴CD⊥AD．∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥DC．…（7分）
∵PA=AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．
又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC．…（9分）
PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF．…（10分）
（3）当点E为CD的中点时，EF||平面PAC．   …（11分）
理由如下：∵点E，F分别为CD、PD的中点，∴EF||PC．
∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，∴EF||平面PAC．…（15分）