Question

已知点B（-1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足．
（1）求点P的轨迹C对应的方程；
（2）已知点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k₁、k₂满足k₁•k₂=2．求证：直线DE过定点，并求出这个定点．

Answer

（1）设出P点坐标，求出的坐标，代入满足整理即可得到点P的轨迹C对应的方程；
（2）把A的坐标代入点P的方程求出m的值，设出DE的方程，和抛物线方程联立后得到D、E两点横坐标的和与积，再由两点的斜率之积等于2得到关系式，和根与系数关系结合后可得直线DE的斜率和截距的关系，代回直线方程后利用直线系方程得到证明．
（1）【解析】
设P（x，y），代入足，得，化简得y2=4x；
（2）证明：将A（m，2）代入y2=4x，得m=1，
设直线DE的方程为y=kx+b，D（x1，y1），E（x1，y1）
由，得k2x2+2（kb-2）x+b2=0，
∵kAD•kAE=2，∴，
且y1=kx1+b，y2=kx2+b，∴①
将代入①得，b2=（k-2）2，∴b=±（k-2）．
将b=k-2代入y=kx+b得，y=kx+k-2=k（x+1）-2，过定点（-1，-2）．
将b=2-k代入y=kx+b得，y=kx+2-k=k（x-1）+2，过定点（1，2），不合，舍去，
∴定点为（-1，-2）．