Question

如图，双曲线与抛物线x²=3（y+m）相交于A（x₁，y₁），B（-x₁，y₁），C（-x₂，y₂）D（x₂，y₂），（x₁＞0，x₂＞0），直线AC、BD的交点为P（0，p）．
（Ⅰ）试用m表示x₁x₂；
（Ⅱ）当m变化时，求p的取值范围．

Answer

（Ⅰ）依题意，A、B、C、D四点坐标是下面方程组的【解析】
，消掉x可得y的二次方程，此时有△＞0，而x可用y表示，从而用韦达定理可表示出x1x2；
（Ⅱ）由向量=（x1，y1-p）与=（-x2，y2-p）共线，得x1（y2-p）+x2（y1-p）=0，从而可用x1，x2表示出p，由（Ⅰ）的结论可把p用m表示出来，根据m的范围可得p的范围；
【解析】
（Ⅰ）依题意，A、B、C、D四点坐标是下面方程组的【解析】

消去x，得y2-y+1-m=0，
由△=1-4（1-m）＞0，得m＞，且y1+y2=1，y1y2=1-m．
x1x2=•==．    
（Ⅱ）由向量=（x1，y1-p）与=（-x2，y2-p）共线，
得x1（y2-p）+x2（y1-p）=0，
∴p=
=，
∵m＞，∴0＜p＜，
故p的取值范围是．