Question

已知抛物线y²=4ax（a＞0且a为常数），F为其焦点．
（1）写出焦点F的坐标；
（2）过点F的直线与抛物线相交于P、Q两点，且，求直线PQ的斜率；
（3）若线段AC、BD是过抛物线焦点F的两条动弦，且满足AC⊥BD，如图所示．求四边形ABCD面积的最小值S（a）．

Answer

（1）根据抛物线的性质可知p=2a，进而焦点坐标为F（a，0）．
（2）假设点为P（x，y）、Q（x1，y1），然后表示出、，再根据可以得到（a-x，-y）=2（x1-a，y1），再由y12=4ax1，y2=4ax，可确定，进而可得x=2a，y2=4ax=8a2，即，然后表示出直线PQ的斜率代入即可得到答案．
（3）设直线AC的斜率为kAC=k（k≠0），可得到AC的方程然后与抛物线联立得到两根之和、两根之积，根据弦长公式表示出|AC|并化简，然后根据直线AC的斜率可得到直线BD的斜率求出|BD|的弦长，再表示出S四边形ABCD运用基本不等式可确定答案．
【解析】
（1）∵抛物线方程为y2=4ax（a＞0），∴焦点为F（a，0）．
（2）设满足题意的点为P（x，y）、Q（x1，y1）．
∵，
∴．
又y12=4ax1，y2=4ax，
∴，．
∴．
（3）由题可知，直线AC既不平行x轴，也不平行y轴（否则AC，BD与抛物线不会有四个交点），
于是，设直线AC的斜率为kAC=k（k≠0），则AC的方程为：y=k（x-a）．
联立方程组，化简得k2x2-2a（k2+2）x+k2a2=0（设点A（x1，y1）、C（x2，y2）），
则x1、x2是此方程的两个根．
∴．
∴弦长
=
=
=．
又，∴．
于是，弦长．
∴
=（当且仅当，即k=±1时，等号成立）．
∴S（a）=32a2．