利用线面垂直的性质可以得到△PAD与△PBC是直角三角形,再由∠APD=∠BPC得到两直角三角形相似,
过P作PM⊥AB与M,则M为三角形PAB底边AB上的高,设出AM的长度t,通过解直角三角形把AM用含有t的代数式表示,代入三角形面积公式后利用配方法求面积的最大值.
【解析】
由题意平面α⊥平面β,A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点,DA⊂β,CB⊂β,
且DA⊥α,CB⊥α,∴△PAD与△PBC是直角三角形,又∠APD=∠BPC,
∴△PAD∽△PBC,又AD=4,BC=8,
∴PB=2PA
如图,
作PM⊥AB,垂足为M,令AM=t,
在两个Rt△PAM与Rt△PBM中,AM是公共边及PB=2PA
∴PA2-t2=4PA2-(6-t)2
解得PA2=12-4t
∴PM=.
∴S=×AB×PM=×6×=3=3≤12.
即三角形面积的最大值为12.