Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面A₁B₁C₁D₁是梯形，且A₁B₁∥D₁C₁，A₁D₁=D₁D=D₁C₁==1，AD₁⊥A₁C，E是棱A₁B₁的中点．
（1）求证：CD⊥AD；
（2）求点C₁到平面CD₁B₁的距离；
（3）求二面角D₁-CE-B₁的大小．

Answer

（1）连结A1D，由正方形的性质得AD1⊥DA1，结合AD1⊥A1C证出AD1⊥平面A1CD，从而AD1⊥CD．再由直棱柱的性质得DD1⊥CD，利用线面垂直的判定定理得CD⊥平面AA1D1D，从而证出CD⊥AD；
（2）算出△CD1B1中各边长，从而得到△CD1B1为直角三角形，得到△CD1B1的面积，根据三棱锥C-C1D1B1的体积等于三棱锥C1-CD1B1的体积，建立等式即可解出点C1到平面CD1B1的距离为h．
（3）取CE的中点F，连结D1F，由（2）的结论得△D1CE是正三角形，可得D1F⊥CE，结合CE∥A1D得A1B1⊥CE．取CB1的中点G，连结FG则CE⊥FG，得∠D1FG是二面角D1-CE-B1的平面角．然后在△D1FG中，根据D1F、FG的长，算出D1G长．最后在△D1FG中，由余弦定理算出，即可得到二面角D1-CE-B1的大小．
【解析】
（1）连结A1D，
∵四边形A1D1DA是正方形，∴AD1⊥DA1，
又∵AD1⊥A1C，DA1、A1C是平面A1CD内的相交直线，
∴AD1⊥平面A1CD，
∵CD⊂平面A1CD，∴AD1⊥CD，
又∵DD1⊥CD，DD1、AD1是平面AA1D1D内的相交直线，
∴CD⊥平面AA1D1D，
∵AD⊂平面AA1D1D，∴CD⊥AD…（5分）
（2）用等体积法：
设点C1到平面CD1B1的距离为h，
在△CD1B1中，，
∴△CD1B1为直角三角形，
由，得，
解之得，
∴点C1到平面CD1B1的距离为．
（3）由（2）得，
取线段CE的中点F，连结D1F，则D1F⊥CE，
∵CE∥A1D，∴A1B1⊥CE，
再取线段CB1的中点G，连结FG
∴FG∥EB1，可得CE⊥FG，得∠D1FG是二面角D1-CE-B1的平面角，
在△D1FG中，，，取线段B1C1的中点L，连结GL，
则，
在△D1C1L中，，
∴，
△D1FG中，由余弦定理，得，
∴二面角D1-CE-B1的大小为．…（14分）