Question

设定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d满足：①函数f（x）的图象过点P（3，-6）；②函数f（x）在x₁、x₂处取得极值，且|x₁-x₂|=4；③函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若α，β∈R，求证：；
（3）求过点P（3，-6）与函数f（x）的图象相切的直线方程．

Answer

（1）由③知，函数y=f（x）为奇函数，则得f（x）=ax3+cx，即得f′（x）=3ax2+c，令f′（x）=0且由②得到，再由条件①，即可得到关于参数的方程组，解出即得表达式；
（2）由（1）知，若令f′（x）=2x2-8=0得x=±2，进而得到y=f（x）在[-2，2]上单调递减再由2cosα，2sinβ的范围，即得证；
（3）由（1）知，f′（x）=2x2-8，设切点坐标为，得到切线方程，由于切线过P（3，-6），则可解得，进而过点P（3，-6）与函数f（x）的图象相切的切线方程．
【解析】
（1）∵y=f（x-1）关于（1，0）对称
∴y=f（x）关于（0，0）对称
∴函数y=f（x）为奇函数
∴b=0，d=0，∴f（x）=ax3+cx
f′（x）=3ax2+c，令f′（x）=0得
∴
∴12a=-c①
又∵-6=27a+3c②
∴由①②解得
∴…（5分）
（2）由f′（x）=2x2-8=0得x=±2
∴y=f（x）在[-2，2]上单调递减
∵-2≤2cosx≤2，-2≤2sinx≤2
∴…（9分）
（3）∵f′（x）=2x2-8
设切点坐标为
∴切线方程为
∵切线过P（3，-6）
∴
解之得
∴过点P（3，-6）与函数f（x）的图象相切的切线方程为：10x-y-36=0或7x+2y-9=0…（14分）