Question

设函数f（x）=，其中=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R
（1）求f（x）的表达式，并给出一个f（x）取得最大值时的x的值；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）若关于x的方程f（x）-m=0（x∈[-，]有解，求实数m的取值范围．

Answer

（1）由已知中=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），函数f（x）=，根据平面向量的数量积公式，结合降幂公式（二倍角公式逆用）及辅助角公式，我们易将函数的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的性质，我们可以求出函数 f（x）的最大值及取得最大值时的x的值；
（2）由（1）中函数的解析式，结合正弦型函数的单调性，我们易求出函数f（x）的单调递增区间；
（3）由（1）中函数的解析式，结合正弦型函数的单调性，得到函数的最值，进而得到实数m的取值范围．
【解析】
（1）f（x）==（2cosx，1）（cosx，sin2x）
=1+cos2x+sin2x=2sin（2x+）+1．        
∵-1≤sin（2x+）≤1，
∴fmax=3，此时x+=
故一个f（x）取得最大值时的x的值为；
（2）由，（k∈Z）
∴
函数递增区间为，（k∈Z）；
（3）∵x，∴2x+
故-≤sin（2x+）≤1
此时2sin（2x+）+1∈[1-，3]
故m∈[1-，3]时方程有解．