Question

已知函数，其中 x∈（-3，3）．
（1）判别函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明函数f（x）在（-3，3）上单调性；
（3）是否存在这样的负实数k，使f（k-cosθ）+f（cos²θ-k²）≥0对一切θ∈R恒成立，若存在，试求出k取值的集合；若不存在，说明理由．

Answer

（1）利用函数的奇偶性的定义判断．（2）利用函数的单调性进行证明．（3）利用函数的单调性和三角函数的性质求恒成立问题．
【解析】
（1）因为函数的定义域关于原点对称，由．
所以f（x）是奇函数．
（2）任取-3＜x1＜x2＜3，
则=
因为9+3（x2+x1）-x1x2＞9-3（x2+x1）-x1x2＞0，
所以，
即f（x1）-f（x2）＞0，所以f（x1）＞f（x2），即f（x）是（-3，3）上的减函数；
（3）因为f（k-cosθ）+f（cos2θ-k2）≥0且f（x）是（-3，3）上的减函数，
所以f（cos2θ-k2）≥-f（k-cosθ）=f（cosθ-k），
即恒成立．
由k-cosθ≤k2-cos2θ得，k-k2≤cosθ-cos2θ恒成立．
设y=cos⁡θ-cos2θ=．
因为-1≤cosθ≤1，所以-2，
所以k-k2≤-2，解得k≤-1．

同理：由-3＜k-cosθ＜3，
得：-2＜k＜2．
由-3＜cos2θ-k2＜3，得：，
即综上所得：．
所以存在这样的k其范围为：．