Question

某服装批发商场经营的某种服装，进货成本40元/件，对外批发价定为60元/件．该商场为了鼓励购买者大批量购买，推出优惠政策：一次购买不超过50件时，只享受批发价；一次购买超过50件时，每多购买1件，购买者所购买的所有服装可在享受批发价的基础上，再降低0.1元/件，但最低价不低于50元/件．
（1）问一次购买多少件时，售价恰好是50元/件？
（2）设购买者一次购买x件，商场的利润为y元（利润=销售总额-成本），试写出函数y=f（x）的表达式．并说明在售价高于50元/件时，购买者一次购买多少件，商场利润最大．

Answer

（1）设购买者一次购买x件，售价恰好是50元/件．然后代入已知进行验证求解，求得x即可．
（2）根据0＜x≤50时，50＜x＜150时，x≥150时分别求解函数，建立分段函数并求最值问题．从而求出结果．
【解析】
（1）设购买者一次购买x件，售价恰好是50元/件．
由题知：
60-（x-50）×0.1=50
解之得：x=150，
即购买者一次购买150件，售价恰好是50元/件．
（2）当0＜x≤50时，购买者只享受批发价，y=60x-40x=20x；
当50＜x＜150时，购买者可享受批发价以外的更多优惠，
y=[60-（x-50）×0.1]x-40x=-x2+25x；
当x≥150时，购买者只能以50元/件采购，y=50x-40x=10x；
综合得y=
售价高于50元/件即购买不足150件．
当0＜x≤50时，
y的最大值是20×50=1000（元），当x=50时取得；
当50＜x＜150时
，y=-x2+25x=-（x-125）2+1562.5，
当x=125时，y取最大值1562.5元．