Question

已知f（x）是定义域为（0，+∞）的函数，当x∈（0，1）时f（x）＜0．现针对任意正实数x、y，给出下列四个等式：
①f（xy）=f（x） f（y）；
②f（xy）=f（x）+f（y）；
③f（x+y）=f（x）+f（y）；
④f（x+y）=f（x） f（y）．
请选择其中的一个等式作为条件，使得f（x）在（0，+∞）上为增函数．并证明你的结论．

Answer

选择的等式代号②．赋值可得f（1）=0，f（ ）=-f（x）．设0＜x1＜x2，可得f（ ）＜0，可得f（ ）=f（x1）-f（x2）＜0，由单调性的定义可得．
【解析】
选择的等式代号是    ②．                      3′
证明：在f（xy）=f（x）+f（y）中，令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），故f（1）=0．  6′
又f（1）=f（x•）=f（x）+f（ ）=0，f（ ）=-f（x）． （※）               9′
设0＜x1＜x2，则0＜＜1，
∵x∈（0，1）时f（x）＜0，∴f（ ）＜0
又∵f（ ）=f（x1）+f（ ），由（※）知f（ ）=-f（x2）
∴f（ ）=f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2），f（x）在（0，+∞）上为增函数．                         14′