Question

直线mx+ny-3=0与圆x²+y²=3没有公共点，若以（m，n）为点P的坐标，则过点P的一条直线与椭圆的公共点有    个．

Answer

根据直线mx+ny-3=0与圆x2+y2=3没有公共点即为将方程代入圆中消去x得到方程无解，利用根的判别式小于零求出m与n的关系式，得到m与n的绝对值的范围，在根据椭圆的长半轴长和短半轴长，比较可得公共点的个数．
【解析】
将直线mx+ny-3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得
（m2+n2）y2-6ny+9-3m2=0．令△＜0得，m2+n2＜3．
又m、n不同时为零，∴0＜m2+n2＜3．
由0＜m2+n2＜3，可知|n|＜，|m|＜，
再由椭圆方程a=，b=可知P（m，n）在椭圆内部，
∴过点P的一条直线与椭圆的公共点有2个．
故答案为2．