Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率是，且左顶点与右焦点F的距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F的直线交椭圆C于A、B两点，A、B在右准线l上的射影分别为M、N．求证：AN与BM的交点在x轴上．

Answer

（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），由题意得，可得a，c，再由a2=b2+c2可得b；
（2）：①当AB垂直于x轴时，易证明；②当AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=k（x-1），代入椭圆，得（4k2+3）x2-8k2x+（4k2-12）=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），写出直线AN、BM的方程联立，及韦达定理可求得AN与BM的交点，由其坐标可得结论；
（1）【解析】
设椭圆C的方程为（a＞b＞0），
则由，得a=2，c=1，b2=3，
所以椭圆C的方程为；
（2）证明：①当AB垂直于x轴时，AB的坐标分别为，，AN与BM的交点为在x轴上．
②当AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=k（x-1），
代入椭圆，得（4k2+3）x2-8k2x+（4k2-12）=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则M（4，y1），N（4，y2），且，
∵直线AN方程是，直线BM方程是．
联立，得，消去y，得：．
即（x1+x2-8）x=x1x2-16，即，
把代入直线AN的方程，
得=，
∴AN与BM交于点是x轴上一定点．