Question

已知定点A（-2，0），B（2，0），曲线E上任一点P满足|PA|-|PB|=2．
（1）求曲线E的方程；
（2）延长PB与曲线E交于另一点Q，求|PQ|的最小值；
（3）若直线l的方程为x=a（a≤），延长PB与曲线E交于另一点Q，如果存在某一位置，使得PQ的中点R在l上的射影C满足PC⊥QC，求a的取值范围．

Answer

（1）由题意可知P点轨迹为双曲线，由a，c求出b的值，则方程可求；
（2）当直线斜率存在时，设出直线方程，和双曲线方程联立后求得判别式大于0，再由两根之和大于0，且两根之积大于0联立求得k的范围由弦长公式写出弦长，借助于k的范围求弦长的范围，当斜率不存在时直接求解；
（3）由题意可知P、C、Q构成直角三角形，求出R到直线l的距离，由点P、Q都在双曲线上，借助于双曲线的第二定义得到，利用合比定理得到，与
R到直线l的距离联立可得答案．
（1）【解析】
∵|PA|-|PB|=2，
∴点P的轨迹是以A、B为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右支，
则a=1，c=2，∴b2=c2-a2=3．
其方程为；
（2）若直线PQ的斜率存在，设斜率为k，则直线PQ的方程为y=k（x-2）代入双曲线方程，
得（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0，
由△＞0，
，解得k2＞3，
∴|PQ|=
当直线斜率不存在时，x1=x2=2，得y1=3，y2=-3，|PQ|=6，|PQ|的最小值为6    
（3）当PC⊥CQ时，P、C、Q构成直角三角形
∴R到直线l的距离①
又∵点P、Q都在双曲线上，
∴，
∴，即|PQ|=4xR-2，∴②
将②代入①得，|PQ|=2-4a≥6，
故有a≤-1．