Question

某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划成一个矩形高科技工业园区．已知AB⊥BC，DA∥BC且AB=BC=2AD=4km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段．
（1）建立适当的坐标系，求曲线段的方程；
（2）如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点落在DC上，问如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1km²）．

Answer

（1）以O为原点，OA所在直线为y轴建立直角坐标系，设出曲线所在抛物线的方程，代入C点的坐标后可求抛物线方程；
（2）设出P点坐标，在矩形PQBN中，把两边|PQ|，|PN|的长用P点坐标表示，由面积公式得到面积关于P点纵坐标的函数，然后利用导数求最值．
解 （1）以O为原点，OA所在直线为y轴建立直角坐标系如图，
依题意可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），且C（4，2）．
∵22=2p•4，∴p=．
故曲线段DC的方程为y2=x（0≤x≤4，y≥0）．

（2）设P（y2，y）（0≤y＜2）是曲线段OC上的任意一点，
则在矩形PQBN中，|PQ|=2+y，|PN|=4-y2．
∴工业区面积S=|PQ|•PN|=（2+y）（4-y2）=-y3-2y2+4y+8．
又S'=-3y2-4y+4，令S′=0，得．∵0＜y＜2，∴．
当时，S'＞0，S是y的增函数；当时，Sn＜0，S是y的减函数．
∴时，S取到极大值，此时
，
故．∵y=0时S=8，∴．
答：当矩形的长为，宽为时，园区面积最大，约为9.5km2．