Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=0，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，E是O₁A的中点．
（1）求二面角O₁-BC-D的大小；
（2）求点E到平面O₁BC的距离．

Answer

本题一个求二面角与点到面距离的题，
（1）求二面角的方法有二，一是用立体几何法，作出它的平面角，求之，二是利用向量求二面角，需要建立空间坐标系，求出两个平面的法向量，利用数量积公式求出二面角的余弦，再求角．
（2）求点到面的距离也有二种方法，一种是几何法，作出点到面的垂线段，用解三角形的方法求之．
二是用向量法，找出平面上一点与此点相连的线段所对应的向量，求出其在平面法向量上的投影的绝对值即可得到点到面的距离．
证明：（I）过O作OF⊥BC于F，连接O1F，
∵OO1⊥面AC，∴BC⊥O1F，
∴∠O1FO是二面角O1-BC-D的平面角，…（3分）
∵OB=2，∠OBF=60°，∴OF=．
在Rt△O1OF在，tan∠O1FO=，
∴∠O1FO=60°即二面角O1-BC-D为60°…（6分）
【解析】
（II）在△O1AC中，OE是△O1AC的中位线，∴OE∥O1C
∴OE∥O1BC，∵BC⊥面O1OF，∴面O1BC⊥面O1OF，交线O1F．
过O作OH⊥O1F于H，则OH是点O到面O1BC的距
离，…（9分）

点E到面O1BC的距离等于OH，
∴OH=．∴点E到面O1BC的距离等于．…（12分）
【解析】
法二：（I）在正方体中，有OO1⊥平面AC，∴OO1⊥OA，OO1⊥OB，又OA⊥OB，建立如图所示的空间直角坐标系（如图）∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，

∴OA=2，OB=2
则A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），
O1（0，0，3）∴
设平面O1BC的法向量为=（x，y，z），
则⊥，⊥，
∴，则z=2，x=-，y=3，
∴=（-，3，2），而平面AC的法向量=（0，0，3）
∴cos＜，＞=，
设O1-BC-D的平面角为α，∴cosα=，∴α=60°．
故二面角O1-BC-D为60°．
（II）设点E到平面O1BC的距离为d，
∵E是O1A的中点，∴=（-，0，），
则d=
∴点E到面O1BC的距离等于．