Question

如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在抛物线上．
（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程
（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y₁+y₂的值及直线AB的斜率．

Answer

（I）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程．
（II）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则可分别表示kPA和kPB，根据倾斜角互补可知kPA=-kPB，进而求得y1+y2的值，把A，B代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB的斜率．
【解析】
（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px
∵点P（1，2）在抛物线上∴22=2p×1，得p=2
故所求抛物线的方程是y2=4x
准线方程是x=-1
（II）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB
则，
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补
∴kPA=-kPB
由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12=4x1（1）y22=4x2（2）
∴
∴y1+2=-（y2+2）
∴y1+y2=-4
由（1）-（2）得直线AB的斜率