Question

已知命题p：“函数f（x）=ax²-4x（a∈R）在（-∞，2]上单调递减”，命题q：“∀x∈R，16x²-16（a-1）x+1≠0”，若命题“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer

若命题“p且q”为真命题，则命题“p”和“q”均为真命题．命题p为二次型函数的单调性，分a=0，a＞0，a＜0三类结合二次函数的图象求出a的范围；命题q：“∀x∈R，16x2-16（a-1）x+1≠0”，即方程16x2-16（a-1）x+1=0无解，故△＜0，解出A的范围，求交集即可．
【解析】
P为真：①当a＜0不符合题意；
②当a=0时，f（x）=-4x在（-∞，2]上单调递减，故a=0成立；
③当a＞0时，只需对称轴5在区间（-∞，2]6的右侧，即
∴0＜a≤1
综合①②③：a∈[0，1]
q为真：命题等价于：方程16x2-16（a-1）x+1=0无实根．
△=[16（a-1）]2-4×16＜0
∴
∵命题“p且q”为真命题
∴
∴．